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Analyse 3

Description du programme de la matière:
Etablir les critères de convergence des séries et définir les modes usuels de convergence des séries de fonctions et les exploiter afin d’étudier la conservation de la continuité et la dérivabilité et l’intégration par passage à la limite.
Déterminer les développements en séries entières des fonctions usuelles de l’analyse dans le but de mettre en œuvre des algorithmes d’approximation des nombres.
Découvrir quelques concepts topologiques de IR2 et IR3.
Etendre les notions de limite, continuité et différentiabilité des fonctions de IRm dans IR et les généraliser à des fonctions de IRm vers IRn.

ID Cours
ANAL3
Niveau
2ème année CP
Semestre
Semestre 3
Crédit
6
Volumes Horaires Cours
45.00
Coef
5
Volumes Horaires TD
45.00

Pré-requis:

Familles de Compétences

  • CF2 : Modéliser des systèmes complexes

Type de compétence: 

TEC : Technique

MET : Méthodologique

MOD : Modélisation

OPE : Opérationnel

Niveau de compétence:

Base Intermédiaire Avancé
Famille de Compétence Compétence Elément de Compétence Type
CF2 C2.2: Modéliser et optimiser un système complexe C22.6: Analyser des topologies de IR² et IR³ TEC
C2.1: Modéliser numériquement un système complexe C21.6: Développer en séries entières des fonctions usuelles de l’analyse dans le but de mettre en œuvre des algorithmes d’approximation des nombres TEC

Contenu

I- Les séries numériques (7h30mn)
Définition et propriétés élémentaires.
Séries à termes positifs et critères de convergence,
Séries à termes quelconques et critères de convergence.
II-Suites et séries de fonctions (15h)
Suites de Fonctions:
Définition, convergence simple et convergence uniforme règles pratiques de convergence.
Conservation de la continuité, de l’intégrabilité et de la dérivabilité.
Séries de Fonctions :
Définition, convergence simple, convergence uniforme et convergence normale.
Critères de convergence uniforme et normale .
Séries entières:
Définitions et propriétés.
Rayon de convergence, propriétés des séries entières.
Séries de Taylor et développements usuels.
III-Les séries de Fourier (5h)

IV- Eléments de topologie (4h).
Distances et espaces métriques.
Espaces vectoriels normés.
Boule, voisinage, ouverts et fermés.
Notion de topologie.
Intérieur, adhérence, frontière d’un ensemble.
Cas des espaces IRm .

V- Les notions de limite et continuité des fonctions de IRm vers IRn, pour m=2,3 et n=1, 2,3 (6h)
Limite et continuité des fonctions de IRm vers R.
Limite et continuité des fonctions de IRm vers de IRn.
Propriétés.

VI- Différentiabilité des fonctions à plusieurs variables réelles (7h30mn)
Dérivées partielles et théorème de Schwarz
Différentiabilité et propriétés, les fonctions implicites.
Formule de Taylor.
Formes différentielles et notion de différentielle extérieure.

Travail personnel

Bibliographie

E. Azoulay, J.Avignant, G.Auliac : Les mathématiques en licence (Tomes 1 à 4) Edi Science.
J.Dixmier : Cours de mathématiques. Cycle préparatoire (en deux volumes) Dunod.
J.Monier : Cours de mathématiques (Analyse 1, 2,3 et 4) Dunod.
J.lelong-ferand, J.M.Arnaudies: Cours de mathématiques. Cycle préparatoire (tome 2 Analyse, tome3 Géométrie et cinématique, tome 4 équations différentielles et intégrales multiples) Dunod.
B.Calvo, A.Calvo, J.Doyen,F.Boschet : Cours d’analyse de I à V. 1er Cycle et Classes préparatoires aux grandes Ecoles. Armand Colin, Collection U.
R.Couty, J.Ezra : Analyse. Armand Colin, Collection U.

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