Analyse Numérique

I. Résolution des systèmes linéaires par des méthodes directes
Rappels d’analyse matricielle
Exemple motivant.
Position du problème.
Rappels et complément sur l’analyse matricielle.
Conditionnement.
Méthode de Gauss.
Méthode LU.
Méthode de Cholesky.
Méthode QR.
II. Résolution des systèmes linéaires par des méthodes itératives
Généralités sur les méthodes itératives classiques pour les systèmes linéaires.
Méthode de Jacobi.
Méthode de Gauss-Seidel.
Méthode de relaxation.
Etude de l’erreur d’approximation.
III. Calcul numérique des valeurs propres
Exemple motivant.
Localisation des valeurs propres.
Calcul du polynôme caractéristique par la méthode Krylov.
Méthode de la puissance itérée :
– Approximation de la valeur propre de plus grand module.
– Approximation de la valeur propre de plus petit module : La méthode de la puissance inverse.
– Calcul d’autres éléments propres : méthode de déflation.
Méthode de Jacobi de calcul des valeurs et vecteurs propres
Méthode QR. Jacobi de calcul des valeurs et vecteurs propres
IV. Résolution des équations non linéaires de la forme f(x)=0
Exemple motivant.
Méthode de Dichotomie.
Méthodes du point fixe
– Principe
– Convergence et ordre de convergence.
– Cas particulier : Méthode de Newton.
V. Interpolation polynomiale
Exemple motivant.
Interpolation de Lagrange. Par la
– résolution de système linéaire de type Vandermonde.
– méthode de Lagrange.
– méthode des différences divisées
– méthode des différences finies
Estimation de l’erreur d’interpolation de Lagrange.
VI. Intégration numérique
Exemple motivant.
Méthode générale (formules de quadrature).
Formules de quadrature de Newton-Cotes :
-Simples.
-Composites.
Etude de l’erreur.