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Analyse Numérique

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Description du programme de la matière:
Objectifs: L’analyse numérique est l’étude des méthodes permettant d’évaluer numériquement des nombres, des fonctions …. C’est un outil essentiel pour l’ingénieur. La modélisation de la majorité des situations réelles (le classement des pages web, le traitement d’images, l’optimisation de formes, le transfert de la chaleur, les écoulements …) conduit à des problèmes dont la résolution mathématique exacte est impossible vu leur complexité numérique. On est donc conduit à chercher des solutions approchées par des algorithmes numériques que l’on programme sur ordinateur. L’analyse numérique a pour objet de construire et d’étudier ces méthodes de résolution.

ID Cours
ANUM
Niveau
1ère année CS
Semestre
Semestre 1
Crédit
4
Volumes Horaires Cours
30.00
Coef
4
Volumes Horaires TD
30.00
Domaine
Data science

Pré-requis:

Analyse et algèbre linéaire

Familles de Compétences

  • CF2 : Modéliser des systèmes complexes

Type de compétence: 

TEC : Technique

MET : Méthodologique

MOD : Modélisation

OPE : Opérationnel

Niveau de compétence:

Base Intermédiaire Avancé
Famille de Compétence Compétence Elément de Compétence Type
CF2 C2.1: Modéliser numériquement un système complexe C21.1: Exploiter les méthodes numériques pour modéliser des systèmes complexes linéaires non linéraires MOD
C21.2: Programmer des méthodes numériques pour modéliser des systèmes complexes TEC

Contenu

I. Résolution des systèmes linéaires par des méthodes directes
Rappels d’analyse matricielle
Exemple motivant.
Position du problème.
Rappels et complément sur l’analyse matricielle.
Conditionnement.
Méthode de Gauss.
Méthode LU.
Méthode de Cholesky.
Méthode QR.
II. Résolution des systèmes linéaires par des méthodes itératives
Généralités sur les méthodes itératives classiques pour les systèmes linéaires.
Méthode de Jacobi.
Méthode de Gauss-Seidel.
Méthode de relaxation.
Etude de l’erreur d’approximation.
III. Calcul numérique des valeurs propres
Exemple motivant.
Localisation des valeurs propres.
Calcul du polynôme caractéristique par la méthode Krylov.
Méthode de la puissance itérée :
– Approximation de la valeur propre de plus grand module.
– Approximation de la valeur propre de plus petit module : La méthode de la puissance inverse.
– Calcul d’autres éléments propres : méthode de déflation.
Méthode de Jacobi de calcul des valeurs et vecteurs propres
Méthode QR. Jacobi de calcul des valeurs et vecteurs propres
IV. Résolution des équations non linéaires de la forme f(x)=0
Exemple motivant.
Méthode de Dichotomie.
Méthodes du point fixe
– Principe
– Convergence et ordre de convergence.
– Cas particulier : Méthode de Newton.
V. Interpolation polynomiale
Exemple motivant.
Interpolation de Lagrange. Par la
– résolution de système linéaire de type Vandermonde.
– méthode de Lagrange.
– méthode des différences divisées
– méthode des différences finies
Estimation de l’erreur d’interpolation de Lagrange.
VI. Intégration numérique
Exemple motivant.
Méthode générale (formules de quadrature).
Formules de quadrature de Newton-Cotes :
-Simples.
-Composites.
Etude de l’erreur.

Travail

Programmer les algorithmes sous Matlab

Bibliographie

Polycopié du cours.
P.G. Ciarlet, « Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation- Cours et exercices corrigés », Dunod, 2006
M. Schatzman, « Analyse numérique – une approche mathématique- cours et exercices », Dunod, 2001
M. Sibony, J. Mardon, « Systèmes linéaires et non linéaires, Analyse numérique T1 », Hermann, 1984.

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